无穷级数

取自数学百科

在数学中，一个有穷或无穷的序列 $formdata=u_0,u_1,u_2+\cdots$ 的元素的形式和 $formdata=S$ 称为级数。序列 $formdata=u_0,u_1,u_2+\cdots$ 中的项称作级数的通项。级数的通项可以是固定的元素（如说实数、矩阵或向量），也可以是关于其他变量的函数（你把那变量当成是参量后它还是“固定的元素”），不一定是一个数。如果级数的通项是固定的元素，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。对于有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。如果序列是无穷序列，其和则称为无穷级数，也简称级数。无穷级数有发散和收敛的区别，称为无穷级数的敛散性。判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。无穷级数只有在收敛时才有一个和；发散的无穷级数在一般意义上没有和，但可以用一些别的方式来定义。对于无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。无穷级数一般写作 $formdata=+a_1+++a_2++a_3++\cdots$ 、 $formdata=\sum+a_n$ 或者 $formdata=\sum_{n=1}^\infty+a_n$ ，级数收敛时，其和通常被表示为 $formdata=\sum_{n=1}^\infty+a_n$ 。

[编辑] 无穷级数的定义

设 $formdata=(u_n)$ 是一个无穷序列： $formdata=u_1,+u_2,+u_3,+...u_n,+...+$

其前n项的和称为 $formdata=\sum+u_n$ 的部分和： $formdata=S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n$

由此得出另一个无穷序列： $formdata=s_1,+s_2,+s_3,+...s_n,+...$

这两个序列合称为一个级数，记作 $formdata=\sum+u_n$ 或者 $formdata=\sum_{n=1}^\infty+u_n$

[编辑] 无穷级数的敛散性

对于级数 $formdata=\sum_{n=1}^\infty+u_n$ ，如果当n趋于正无穷大时，s_n趋向一个有限的极限： $formdata=s=\lim_{n\to\infty}s_n$ ，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。只有收敛的无穷级数存在一个和s。这时可以定义级数 $formdata=\sum+u_n$ 的余项和： $formdata=R_n=S-S_n$ 。

不收敛的级数称为发散级数。

若一个无穷级数 $formdata=\sum+u_n+\+:+\+u_1+u_2+u_3+...+u_n+...$ 收敛，其和为s，则如果每一项乘以一个常数a，得到的级数 $formdata=\sum+a+u_n++:+\+au_1+au_2+au_3+...+au_n+...$ 也收敛，且和等于as。

收敛的无穷级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：

$formdata=\sum_{n=1}^\infty+u_n+=+s$ 和 $formdata=\sum_{n=1}^\infty+v_n+=+t$ ，则

$formdata=\sum_{n=1}^\infty+u_n+\pm+v_n+=s+\pm+t$

级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性，如：

$formdata=s=u_1+u_2+u_3+...+u_n+...$ 和 $formdata=s=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+...+u_n+...$

这两个级数的敛散性是一样的。

当n趋向无限大时，任何一个收敛级数的通项都趋于0： $formdata=\lim_{n\to\infty}u_n=0$

在一个完备空间中，也可以运用柯西收敛的准则来判断级数是否收敛：一个无穷级数 $formdata=\sum_{n=1}^+{++\infty}+u_n$ 收敛的充要条件是，对任意 $formdata=+\epsilon+>+0+$ ，总存在 $formdata=+N_+0+>+0+$ ，使得任意的 $formdata=+n+>+m+>+N_+0+$ ， $formdata=|s_n+-+s_m|=|\sum_{k=m+1}^n+u_{k}|=|u_{m+1}+u_{m+2}+...+u_{n}|+<+\epsilon++$ 。

[编辑] 无穷级数的研究历史

将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。

17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。

[编辑] 对审敛法的研究

14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。

然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数

$formdata=1+++\frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x+++\frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1+\cdot+2+\cdot+\gamma(\gamma+1)}x^2+++\cdots.$

的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。

柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。

1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数

$formdata=1+++\frac{m}{1}x+++\frac{m(m-1)}{2!}x^2+++\cdots$

的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。

柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效），以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。

对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。

[编辑] 对一致连续性的研究

1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔（en:Philipp Ludwig von Seidel）和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。然而，一致连续性的重要性在很长一段时间裡没有受到重视。

[编辑] 类别

[编辑] 几何级数

几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：

$formdata=1+++{1+\over+2}+++{1+\over+4}+++{1+\over+8}+++{1+\over+16}+++\cdots=\sum_{n=0}^\infty{1+\over+2^n}.$

一般来说，几何级数 $formdata=\sum_{n=0}^\infty+z^n$ 收敛当且仅当 |z| < 1。

[编辑] 调和级数

Template:Main 调和级数是指通项为 $formdata={1+\over+n}$ 的级数：

$formdata=1+++{1+\over+2}+++{1+\over+3}+++{1+\over+4}+++{1+\over+5}+++\cdots+=\sum_{n=1}^\infty+{1+\over+n}$

它是发散的。

[编辑] p-级数

p-级数是指通项为 $formdata=\frac{1}{n^p}$ 的级数：

$formdata=U_p+=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}$

对于实数值的p，当p > 1 时收敛，当p ≤ 1 时发散。这可以由积分比较审敛法得出。

函数 $formdata=\zeta+:+p+\mapsto+U_p$ 被称为黎曼ζ函數，关于黎曼ζ函數有著名的黎曼猜想。

[编辑] 裂项级数

$formdata=\sum_{n=1}^\infty+(b_n-b_{n+1})$

收敛当且仅当数列b_n收敛到某个极限L，并且这时级数的和是b₁ − L。

[编辑] 泰勒级数

Template:Main 泰勒级数是关于一个光滑函数 $formdata=f$ 在一点 $formdata=a$ 附近取值的级数。泰勒函数由函数在点 $formdata=a$ 的各阶导数值构成，具体形式为：

$formdata= \sum_{n=0}^{\infin}+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+(x-a)^{n}$

这是一个幂级数。如果它在 $formdata=a$ 附近收敛，那么就称函数 $formdata=f$ 在点 $formdata=a$ 上是解析的。

[编辑] 交错级数

具有以下形式的级数

$formdata=+\sum_{n=0}^\infty+(-1)^n+a_n\!$

其中所有的 a_n 非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。

[编辑] 幂级数

形同 $formdata=\sum+a_n+(x-+x_0)^n$ 的函数项无穷级数称为 $formdata=x-+x_0$ 的幂级数。它的收敛与否和系数 $formdata=a_n$ 有关。

[编辑] 傅里叶级数

Template:Main 任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

例如，周期为 $formdata=2+\pi$ 的周期函数 $formdata=f(x)$ 可以表示为：

$formdata=f(x)+=+\frac{a_0}{2}+++\sum_{n=1}^{\infty}+(a_n+\cos+nx++b_n+\sin+nx),+n=1,2,3...$

其中， $formdata=a_n+=+\frac{1}{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}+f(x)\cos+nx,+dx$ ， $formdata=b_n+=+\frac{1}{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}+f(x)\sin+nx+dx$ ，特别的， $formdata=a_0+=+\frac{1}{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}+f(x)+dx$

[编辑] 常数项无穷级数（数项级数）

[编辑] 正项级数

若通项为实数的无穷级数 $formdata=\sum+u_n$ 每一项 $formdata=u_n$ 都大于等于零，则称 $formdata=\sum+u_n$ 是一正项级数。

如果无穷级数 $formdata=\sum+u_n$ 是正项级数，则部分和S_n是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。因此，要么部分和数列S_n有界，这时 $formdata=\sum+u_n$ 收敛， $formdata=\lim_{n+\to+\infty}S_n+=s$ ，要么部分和数列趋于正无穷，这时级数发散。

[编辑] 比较判别法

设 $formdata=\sum+u_n$ 和 $formdata=\sum+v_n$ 是正项级数。

如果存在正实数 M，使得从若干项开始， $formdata=u_n+\le+Mv_n$ （也就是说 $formdata=u_n+=+O_{\infty}+(v_n)$ ），则

当 $formdata=\sum+v_n$ 收敛时，可推出 $formdata=\sum+u_n$ 也收敛。
当 $formdata=\sum+u_n$ 发散时，可推出 $formdata=\sum+v_n$ 也发散。

如果 $formdata=\lim_{n+\to+\infty}{u_n+\over+v_n}+=0$ ，则

当 $formdata=\sum+v_n$ 收敛时，可推出 $formdata=\sum+u_n$ 也收敛。
当 $formdata=\sum+u_n$ 发散时，可推出 $formdata=\sum+v_n$ 也发散。

如果 $formdata=\lim_{n+\to+\infty}{u_n+\over+v_n}+=1$ ，则 $formdata=\sum+v_n$ 和 $formdata=\sum+u_n$ 同时收敛或发散。

比如，我们已知级数： $formdata=\sum+{1+\over+n^2}$ 收敛，则级数： $formdata=\sum+{|\sin+n+|+\over+n^2}$ 也收敛，因为对任意的 n ， $formdata=\sin+n+\le+1$ 。

比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数： $formdata=U_p+=\sum+{1+\over+n^p}$ 作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当 $formdata=p+\le+1$ 时， $formdata=U_p$ 发散，当 $formdata=p+>+1$ 时， $formdata=U_p$ 收敛。

[编辑] 达朗贝尔判别法

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在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：

设 $formdata=\sum+u_n$ 是通项大于零的正项级数。并且 $formdata=\lim_{n+\to+\infty}+{u_{n+1}+\over+u_n}=+p$ ，则

当 $formdata=p+<+1$ 时，级数 $formdata=\sum+u_n$ 收敛。
当 $formdata=p+>+1$ 时，级数 $formdata=\sum+u_n$ 发散。
当 $formdata=p+=+1$ 时，级数 $formdata=\sum+u_n$ 可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。

[编辑] 柯西收敛准则

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设 $formdata=\sum+u_n$ 是正项级数。并且 $formdata=\lim_{n+\to+\infty}+\sqrt[n]{u_n}+=+p$ ，则

当 $formdata=p+<+1$ 时，级数 $formdata=\sum+u_n$ 收敛。
当 $formdata=p+>+1$ 时，级数 $formdata=\sum+u_n$ 发散。
当 $formdata=p+=+1$ 时，级数 $formdata=\sum+u_n$ 可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。

[编辑] 交错级数

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具有以下形式的级数

$formdata=+\sum_{n=0}^\infty+(-1)^n+a_n\!$

其中所有的 a_n 非负，被称作交错级数。

[编辑] 莱布尼茨判别法

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在上述的级数 $formdata=+\sum_{n=0}^\infty+(-1)^n+a_n\!$ 中，如果当 n 趋于无穷时, 数列 a_n 的极限存在且等于 0，并且每个 a_n 小于 a_n-1 (即, 数列 a_n 是单调递减的)，那么级数收敛。

[编辑] 任意项级数

对于通项为任意实数的无穷级数 $formdata=\sum+u_n$ ，将级数 $formdata=\sum+|u_n|$ 称为它的绝对值级数。可以证明，如果 $formdata=\sum+|u_n|$ 收敛，那么 $formdata=\sum+u_n$ 也收敛，这时称 $formdata=\sum+u_n$ 绝对收敛。如果 $formdata=\sum+u_n$ 收敛，但是 $formdata=\sum+|u_n|$ 发散，则称 $formdata=\sum+u_n$ 条件收敛。比如说，级数 $formdata=\sum+{\sin+n+\over+n^2}$ 绝对收敛，因为前面已经证明 $formdata=\sum+{|+\sin+n+|+\over+n^2}$ 收敛。而级数 $formdata=\sum+{(-1)^n+\over+n}$ 是条件收敛的。它自身收敛到 $formdata=\ln+2$ ，但是它的绝对值级数 $formdata=\sum+{1+\over+n}$ 是发散的。

黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数 $formdata=\sum+u_n$ 条件收敛，那么对于任意的实数 x ，存在一个正整数到正整数的双射 $formdata=\sigma$ ，使得级数 $formdata=\sum+u_{\sigma(n)}$ 收敛到 x 。对于正负无穷大，上述双射也存在。

[编辑] 函数项级数

设 $formdata=(u_n+(x))_{n+\ge+0}$ 为定义在区间 I 上的函数列，则表达式： $formdata=u_1+(x)+++u_2+(x)+++\cdots+++u_n+(x)+++\cdots$ 称为函数项级数，简记为 $formdata=\sum+u_n+(x)$ 。对函数项级数的主要研究是：

确定对哪些 x ， $formdata=\sum+u_n+(x)$ 收敛。
$formdata=\sum+u_n+(x)$ 收敛的话，其和是什么，有什么性质？

[编辑] 收敛域

对区间 I 上的每个 $formdata=x_0$ ，级数 $formdata=\sum+u_n+(x_0)$ 是常数项级数。若 $formdata=\sum+u_n+(x_0)$ 收敛，则称 $formdata=x_0$ 是 $formdata=\sum+u_n+(x)$ 的一个收敛点， $formdata=\sum+u_n+(x)$ 全体收敛点的集合称为它的收敛域。若 $formdata=\sum+u_n+(x_0)$ 发散，则称 $formdata=x_0$ 是 $formdata=\sum+u_n+(x)$ 的一个发散点， $formdata=\sum+u_n+(x)$ 全体发散点的集合称为它的发散域。 $formdata=\sum+u_n+(x)$ 在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为 $formdata=\sum+u_n+(x)$ 的和函数，记为 $formdata=S(x)$ 。按照定义， $formdata=S(x_0)+=+\lim_{n+\to+\infty}+S_n(x_0)$ ，其中 $formdata=S_n(x_0)+=+u_1+(x_0)+++u_2+(x_0)+++\cdots+++u_n+(x_0)$ 为函数项级数在 $formdata=x_0$ 点上的部分和。

[编辑] 一致收敛

Template:Main 函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说，当函数项级数 $formdata=\sum+u_n+(x)$ 中的每一项 $formdata=u_n+(x)$ 在收敛域上都是连续函数时，和函数未必会是连续函数。以下是一个例子：

设 $formdata=\displaystyle+u_n+(x)+=+x^n+-+x^{n+1}$ ，也就是说 $formdata=\displaystyle+u_0+(x)+=+1+-+x$ ， $formdata=\displaystyle+u_1+(x)+=+x+-+x^2$ 等等，它们显然都是连续函数（甚至是光滑函数）。这时函数项级数在 $formdata=x$ 点上的部分和 $formdata=S_n(x)+=+\sum_{k=0}^n+(x^k+-+x^{k+1})+=1+-+x^{n+1}+$ 。在区间 $formdata=[0,+1]$ 的每一点上，部分和都有极限：

当 $formdata=+x+\neq+1$ 时， $formdata=S_n(x)+\rightarrow+1$

当 $formdata=\displaystyle+x+=+1$ 时， $formdata=S_n(x)+\rightarrow+0$

于是在区间 $formdata=[0,+1]$ 上，级数 $formdata=\sum+u_n+(x)$ 收敛，其和函数 $formdata=S(x)$ 为：

当 $formdata=+0+\le+x+<+1$ 时， $formdata=S(x)+=+1$ ； $formdata=S(1)+=+0$ 。

这不是一个连续函数。

然而，如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话，可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性，这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样，函数项级数 $formdata=\sum+u_n+(x)$ 在某个区间 $formdata=\mathcal{I}$ 内（关于某个范数 $formdata=\left+\|+\cdot+\right+\|$ ）一致收敛的定义是它的部分和函数 $formdata=S_n$ 在区间 $formdata=\mathcal{I}$ 上一致收敛到和函数 $formdata=S$ ，

$formdata=\lim_{n+\rightarrow+\infty+}+\left+\|+S+-+S_n+\right+\|_{\mathcal{I}}+=+0$

或者写成 $formdata=\lim_{n+\rightarrow+\infty+}++\left+\|+\sum_{k=n}^{\infty}+u_k+\right+\|_{\mathcal{I}}+=+0$

可以证明： Template:Quote

进一步的，如果导函数级数的每一项都是 $formdata=\mathcal{C}^p$ 函数（p阶连续可微函数），并且各阶导函数级数 $formdata=\sum+u_n+(x),+\sum+u_n^{(1)}+(x),+\sum+u_n^{(2)}+(x),+\cdots,+\sum+u_n^{(p)}+(x)$ 在区间 $formdata=\mathcal{I}$ 内都一致收敛，那么级数和函数 $formdata=S(x)+=+\sum+u_n+(x)$ 也是 $formdata=\mathcal{C}^p$ 函数，并且：

$formdata=\forall+0+\le+i+\le+p$ ， $formdata=S^{(i)}(x)+=+\sum+u_n^{(i)}+(x)$ 。

[编辑] 绝对收敛

函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间 $formdata=\mathcal{I}$ 和范数 $formdata=\left+\|+\cdot+\right+\|_{\mathcal{I}}$ ，函数项级数 $formdata=\sum+u_n+(x)$ 在区间 $formdata=\mathcal{I}$ 内绝对收敛，当且仅当常数级数 $formdata=\sum+\left+\|+u_n+\right+\|_{\mathcal{I}}$ 收敛。

绝对收敛的（连续？）函数在每一点都收敛，并且在区间 $formdata=\mathcal{I}$ 内一致收敛。Template:Fact

[编辑] 幂级数

Template:Main

形同 $formdata=\sum+a_n+(x-+x_0)^n$ 的函数项无穷级数称为 $formdata=x-+x_0$ 的幂级数。一般只需讨论形同 $formdata=\sum+a_n+x^n$ 的幂级数。

[编辑] 幂函数的收敛域

根据阿贝尔定理，它的收敛域是一个关于零对称的区间，即为 $formdata=(+-R,R+)$ （可开可闭）的形式。这个正数 R （可以是无穷大）叫做幂级数的收敛半径。并有定理：

设幂级数 $formdata=\sum+a_n+x^n$ 满足 $formdata=\lim_{n+\to+\infty}+{a_{n+1}+\over+a_n}+=+\rho$ ，则：

$formdata=+\rho$ 是正实数时， $formdata=R+=+{1+\over+\rho}$ 。
$formdata=+\rho+=+0$ 时， $formdata=R+=+\infty$ 。
$formdata=+\rho+=+\infty$ 时， $formdata=R+=+0$ 。

[编辑] 幂级数的和函数

求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分（或求导）以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式，在求和后在对各项求导（或积分）。

[编辑] 渐进级数

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渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的，它的部分和趋于无穷大，因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是，渐进级数提供的逼近是相对的，即只是比值趋于一致，与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说，渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差，之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。

[编辑] 发散级数的和

Template:Main

发散级数的部分和没有极限，但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义，比如切萨罗求和、阿贝尔求和以及欧拉求和。

[编辑] 推广

级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义，常用的是在一个巴拿赫空间（比如实数或复数空间）中。

[编辑] 参见

[编辑] 参考书目

取自"http://wiki.mathfan.com/index.php/%E6%97%A0%E7%A9%B7%E7%BA%A7%E6%95%B0"

无穷级数

取自 数学百科

目录

[编辑] 无穷级数的定义

[编辑] 无穷级数的敛散性

[编辑] 无穷级数的研究历史

[编辑] 对审敛法的研究

[编辑] 对一致连续性的研究

[编辑] 类别

[编辑] 几何级数

[编辑] 调和级数

[编辑] p-级数

[编辑] 裂项级数

[编辑] 泰勒级数

[编辑] 交错级数

[编辑] 幂级数

[编辑] 傅里叶级数

[编辑] 常数项无穷级数（数项级数）

[编辑] 正项级数

[编辑] 比较判别法

[编辑] 达朗贝尔判别法

[编辑] 柯西收敛准则

[编辑] 交错级数

[编辑] 莱布尼茨判别法

[编辑] 任意项级数

[编辑] 函数项级数

[编辑] 收敛域

[编辑] 一致收敛

[编辑] 绝对收敛

[编辑] 幂级数

[编辑] 幂函数的收敛域

[编辑] 幂级数的和函数

[编辑] 渐进级数

[编辑] 发散级数的和

[编辑] 推广

[编辑] 参见

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