度量空间

取自 数学百科

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度量空间 在数学中，度量空间是一个集合，在其中可以定义在这个集合的元素之间的距离（叫做度量）的

概念

。 度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧几里得空间。事实上，“度量”的概念就是对从欧几里得距离的四个周知的性质引发的欧几里得度量的推广。欧几里得度量定义了在两个点之间的距离为连接它们的直线的长度。 空间的几何性质依赖于所选择的度量，通过使用不同的度量我们可以构造有趣的非欧几里得几何，比如在广义相对论中用到的几何。 度量空间还引发拓扑性质如开集和闭集，这导致了对更抽象的拓扑空间的研究。

历史

莫里斯•弗雷歇在1906年于著作《Sur quelques points du calcul fonctionnel》, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1–74 中介入了度量空间。

定义

度量空间是元组 (M,d)，这里的 M 是集合而 d 是在 M 上的度量(metric)，就是函数

使得 d(x, y) ≥ 0 (非负性) d(x, y) = 0 当且仅当 x = y (不可区分者的同一性) d(x, y) = d(y, x) (对称性) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (三角不等式)。 函数 d 也叫做“距离函数”或简单的叫做“距离”。经常对度量空间省略 d 而只写 M，如果在上下文中可明确使用了什么度量。不要求第二、第三或第四个条件分别导致伪度量空间、准度量空间或半度量空间的概念。 第一个条件实际上可以从其他三个得出: 2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0. 它做为度量空间的性质更恰当一些，但是很多课本都把它包括在定义中。 某些作者要求集合 M 非空。

详细定义

　　设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有 　　（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y； 　　（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)； 　　（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z） 　　则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 基本举例 　　设X为任一非空集合，定义映射d：X×X→R如下 　　（1）对于X中任意元素x, d(x,x)=0; 　　（2）如果x,y是X中两个不同元素，则d(x,y)=1. 　　则这样定义的d满足（I）（II）（III），是集合X的一个度量。这样的度量称为离散度量。

作为拓扑空间的度量空间

把度量空间处理为拓扑空间相容得几乎都成为定义的一部分了。 对于任何度量空间 M 中的点 x，我们定义半径 r (>0) 的关于 x 的开球为集合

。

这些开球生成在 M 上的拓扑，使它成为拓扑空间。明显的，M 的子集被称为开集，如果它是(有限或无限多)开球的并集。开集的补集被称为闭集。以这种方式从度量空间引发的拓扑空间叫做可度量化空间；详情参见度量化定理。 因为度量空间是拓扑空间，在度量空间之间有连续函数的概念。这个定义等价于平常的连续性的ε-δ定义(它不提及拓扑)，并可以使用序列的极限直接定义。

完备度量空间

度量空间 X 被称为完备的，如果所有柯西序列收敛于 X 中。就是说 蕴涵有某个 y 使得 。

拓扑性质

所有度量空间都是: 第一可数空间 仿紧致空间 完美正规空间 豪斯多夫空间 其他拓扑性质在度量空间变成等价的。特别是 第二可数、可分离性和林德勒夫性质都是等价的。 紧致性、序列紧致性和可数紧致性都是等价的。

度量空间的例子

收敛序列的极限 　　证明：度量空间中收敛序列的极限是唯一的 　　设{a_n}收敛于a且收敛于b。则对任意u>0，存在N使得对n>N有d(a_n,a)<u/2且d(a_n,b)<u/2，所以d(a,b)<=d(a_n,a)+d(a_n,b)0，故必有d(a,b)＝0，所以a=b 欧氏空间Rn 　　由所有的 n元实数组(x1,x2,…,xn)构成集合Rn,Rn中元素x＝(x1,x2,…,xn) 　　与y＝(y1,y2,…,yn)之间的距离定义为 　　

度量空间 希尔伯特空间H 　　

度量空间 　　

度量空间 　　其中R表示实数集合。定义元素x=(x1x2，…，xn,…)及y=(y1，y2，…，

度量空间 yn…)之间的距离为 贝尔空间B 　　B={(x1,x2，…,xn,…)│(xn∈R,n=1,2,…)}对于两个不同的元素x=(x1,x2,…,xn,…)及y=(y1,y2,…,yn，…),用m(x,y)表示满足 xn≠yn的最小标号n，定义x与y之间的距离为

度量空间 ： 　　再规定d(x,x)=0（x∈B）。一般假设Ω是任意一个集合,取X={(x1,x2,…xn,…)|xn∈Ω),可以按同样的方法定义m(x,y)与d(x,y)，得到的度量空间也称作贝尔空间。

实数带有由绝对值给出的距离函数 d(x, y) = |y − x|，和更一般的欧几里得 n 维空间带有欧几里得距离是完备度量空间。 有理数带有同样的距离函数也是度量空间，但不是完备空间。 双曲空间。 任何赋范向量空间通过定义 d(x, y) = ||y − x|| 也是度量空间。(如果这样一个空间是完备的，我们称之为巴拿赫空间)。例如: 曼哈顿范数引发曼哈顿距离，这里在任何两点或向量之间的距离是在对应的坐标之间距离的总和。 极大范数引发切比雪夫距离或棋盘距离，把国王棋子从 x 移动到 y 的极小步数。 离散度量，这里的 d(x,y)=1 对于所有不等于 y 的 x 和 d(x,y)=0 在其他情况，是简单但重要的例子，并可以适用于任何非空集合。特别是证明了对于任何非空集合，总是有一个度量空间与之关联。 在赋范向量空间上的不列颠铁路度量(也叫做邮局度量或SNCF度量)，给出自 d(x, y) = ||x|| + ||y|| 对于独特的点 x 和 y，和 d(x, x) = 0。更一般的说 ||.|| 可以被替代为从任何集合 S 到非负实数的最多取值 0 一次的函数 f: 接着在 S 上的度量定义为 d(x, y)=f(x)+f(y) 对于独特的点 x 和 y，和 d(x, x) = 0。这个名字影射在伦敦(或巴黎)的铁路(信件)的行程与最终目的地无关的趋势。 如果 X 是某个集合而 M 是度量空间，则所有有界函数 f : X → M 的集合(就是说这些函数的像是 M 的有界子集)可以变成度量空间，通过定义 对于所有有界函数 f 和 g。如果 M 是完备的，则这个空间也是完备的。 Levenshtein距离也叫做距离，是在两个字符串 u 和 v 之间的对相异性的测量。这个距离是从 u 变换成 v 所需要的字符删除、插入或替换的极小次数。 如果 X 是拓扑空间(或度量空间)而 M 是度量空间，则所有从 X 到 M 的有界连续函数形成了一个度量空间，如果定义度量为上述的: 对于任何有界连续函数 f 和 g。如果 M 是完备的，则这个空间也是完备的。 如果 M 是连通黎曼流形，则通过把在两点之间的距离定义为连接它们的路径(连续可区分的曲线)的长度的下确界而把 M 变成度量空间。 如果 G 是无向连通图，则 G 的顶点集合 V 可变成度量空间，通过定义 d(x, y) 为连接 x 的 y 的最短路径的长度。 类似的(排除了数学细节): 对于任何道路和地形系统，在两个位置之间的距离可以定义为最短路程的长度。要成为度量空间就不应有单向道路。例子包括上面提及的: 曼哈顿范数，不列颠铁路度量和棋盘距离。 更一般的说，对于任何道路和地形系统，给出在任何位置的极大可能速度，在任何两个位置之间的“距离”可以定义为最快路程所耗的时间。要成为度量就不能有单向道路，并且极大速度不能依赖于方向。可以把 A 到 B 的导向，不必然是唯一的，定义为最短路程的导向。 类似的，在 3D 中在多面体的表面上的度量包括平常的度量，在表面上的距离；在多面体的边上第三个度量是路径为边的度量。例如，在单位立方体相对顶点之间的距离分别是 √3、√5 和 3。 如果 M 是度量空间，我们把 M 的所有紧致子集的集合 K(M) 变成度量空间，通过定义豪斯多夫距离 d(X, Y) = inf{r : 对于所有 X 中的 x 存在 Y 中的 y 使得 d(x, y) < r, 并且对于所有 Y 中的 y 存在 X 中的 x 使得 d(x, y) < r)}。在这个度量中，两个元素是相互邻近的，如果一个集合的所有元素邻近于另一个集合某个元素。可以证明 K(M) 是完备的如果 M 是完备的。 所有紧致度量空间(的等距类)的集合形成了关于Gromov-豪斯多夫距离的度量空间。 给定度量空间 (X,d) 和递增凹函数 f:[0,∞)→[0,∞) 使得 f(x)=0 当且仅当 x=0，则 f o d 也是 X 上的度量。 给定从任何集合 A 到度量空间 (X,d) 的单射函数 f，d(f(x), f(y)) 定义了在 A 上的度量。 使用T-理论，度量空间的紧跨越(tight span)也是度量空间。紧跨越在多种类型的分析中都有用处。 在有限域上的所有 n×m 矩阵的集合是关于秩距离 d(X,Y) = rank(Y-X) 的度量空间。

在点和集合之间的距离

乘积度量空间和赋范乘积度量

是度量空间，这里的赋范乘积度量定义为
,

.

商度量空间

度量空间 　　其中每个Bn都是局部有限的开集族