平均数不等式

取自数学百科

平均数不等式:

对于n个正数的调和平均数,几何平均数,算术平均数都有

调和平均数 $formdata=\le$ 几何平均数 $formdata=\le$ 算术平均数

即对n个正数 $formdata=a_1,a_2...a_n$ 来说,都有

$formdata=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}} \le\sqrt[n]{a_1a_2...a_n} \le\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$

在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设 $formdata=x_1,+\ldots,+x_n$ 为 $formdata=n$ 个正实数，它们的算术平均数是 $formdata=\mathbf{A}_n+=++\frac{x_1+++x_2+++\cdots+++x_n}{n}$ ，它们的几何平均数是 $formdata=\mathbf{G}_n+=+\sqrt[n]{x_1+\cdot+x_2+\cdots+x_n}$ 。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数 $formdata=x_1,+\ldots,+x_n$ ，总有：

$formdata=\mathbf{A}_n+\ge+\mathbf{G}_n+$

等号成立当且仅当 $formdata=x_1+=+x_2+=+\cdots+=+x_n$ 。

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

[编辑] 例子

在 $formdata=n=4$ 的情况，设: $formdata=x_1+=+3.5,\+x_2+=6.2+,\++x_3+=+8.4,+\++x_4+=+5$ ，那么

$formdata=\mathbf{A}_4=+\frac{3.5+++6.2+++8.4+++5}{4}+=+5.775,+\+\mathbf{G}_4+=+\sqrt[4]{3.5+\times+6.2+\times+8.4+\times+5}+=+5.4945$ .

可见 $formdata=\mathbf{A}_4+\ge+\mathbf{G}_4+$ 。

[编辑] 历史上的证明

历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。 $formdata=n=2$ 的情况很早就为人所知，但对于一般的 $formdata=n$ ，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

[编辑] 柯西的证明

1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明<ref> Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Paris, 1821. p457.</ref>： Template:Quote

1. 当 n=2 时， $formdata=P_2$ 显然成立。

2. 假设 $formdata=P_n$ 成立，那么 $formdata=P_{2n}$ 成立。证明：对于 $formdata=2n$ 个正实数 $formdata=x_1,+\cdots,+x_n,+y_1,+\cdots,+y_n+$ ，

$formdata=\frac{x_1+++x_2+++\cdots+++x_n+++y_1+++\cdots+y_n}{2n}+=+\+\frac{1}{2}+\left(+\frac{x_1+++\cdots+++x_n}{n}+++\frac{y_1+++\cdots+++y_n}{n}+\right)$

$formdata=\ge+\+\frac{1}{2}++\left(+\sqrt[n]{x_1+\cdot+x_2+\cdots+x_n}+++++\sqrt[n]{y_1+\cdot+y_2+\cdots+y_n}+\right)+\ge+\+\sqrt{+\sqrt[n]{x_1+\cdot+x_2+\cdots+x_n}+\cdot+\sqrt[n]{y_1+\cdot+y_2+\cdots+y_n}+}+=+\+\sqrt[2n]{x_1+\cdot+x_2+\cdots+x_n+y_1+\cdot+y_2+\cdots+y_n}$

3. 假设 $formdata=P_n$ 成立，那么 $formdata=P_{n-1}$ 成立。证明：对于 $formdata=n-1$ 个正实数 $formdata=x_1,+\cdots,+x_{n-1}+$ ，设 $formdata=\mathbf{A}_{n-1}=+\frac{x_1+++\cdots+++x_{n-1}+}{n-1}$ ， $formdata=+\mathbf{G}_{n-1}+=+\sqrt[n-1]{x_1+\cdot+x_2+\cdots+x_{n-1}+}$ ，那么由于 $formdata=P_n$ 成立， $formdata=\frac{x_1+++\cdots+++x_{n-1}+++\mathbf{A}_{n-1}}{n}+\ge+\sqrt[n]{x_1+\cdot+x_2+\cdots+x_{n-1}++\mathbf{A}_{n-1}+}$ 。

但是 $formdata=x_1+++\cdots+++x_{n-1}+=+(n-1)\mathbf{A}_{n-1}$ ， $formdata=x_1+\cdot+x_2+\cdots+x_{n-1}+=+\mathbf{G}^{n-1}_{n-1}$ ，因此上式正好变成

$formdata=\mathbf{A}_{n-1}^n+\ge+\mathbf{G}^{n-1}_{n-1}+\mathbf{A}_{n-1}+$

也就是说 $formdata=\mathbf{A}_{n-1}+\ge+\mathbf{G}_{n-1}$

综合以上三点，就可以得到结论：对任意的自然数 $formdata=n+\ge+2$ ，命题 $formdata=P_n$ 都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数 $formdata=k$ ，命题 $formdata=P_{2^k}$ 都成立。因此对任意的 $formdata=n+\ge+2$ ，可以先找 $formdata=k$ 使得 $formdata=2^k+\ge+n$ ，再结合第三条就可以得到命题 $formdata=P_{n}$ 成立了。

[编辑] 归纳法的证明

使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的<ref>George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II, Chapter XXIV.p46.</ref>：

由对称性不妨设 $formdata=x_{n+1}$ 是 $formdata=x_1,+x_2+\cdots+x_{n+1}$ 中最大的，由于 $formdata=\mathbf{A}_{n+1}+=+\frac{n\mathbf{A}_n+++x_{n+1}}{n+1}$ ，设 $formdata=x_{n+1}+=+\mathbf{A}_n+++b$ ，则 $formdata=b+\ge+0$ ，并且有 $formdata=\mathbf{A}_{n+1}+=+\mathbf{A}_n++\frac{b}{n+1}+$ 。

根据二项式定理，

$formdata=+\mathbf{A}^{n+1}_{n+1}+=+(\mathbf{A}_n++\frac{b}{n+1})^{n+1}+\ge+\mathbf{A}^{n+1}_{n}+++(n+1)\mathbf{A}^{n}_{n}+\frac{b}{n+1}+=+\mathbf{A}^{n}_{n}(\mathbf{A}_{n}+++b+)+=+\mathbf{A}^{n}_{n}x_{n+1}+\ge+\mathbf{G}^{n}_{n}x_{n+1}+=+x_1+x_2+\cdots+x_{n+1}+=+\mathbf{G}^{n+1}_{n+1}$

于是完成了从 $formdata=n$ 到 $formdata=n+1$ 的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明<ref>P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007</ref>：

在 $formdata=n$ 的情况下有不等式 $formdata=\mathbf{A}_n+\ge+\mathbf{G}_n$ 和 $formdata=x_{n+1}+++(n-1)\mathbf{G}_{n+1}+\ge+n+\sqrt[n]{+x_{n+1}+\mathbf{G}^{n-1}_{n+1}+}$ 成立，于是：

$formdata=+\frac{+x_1+++x_2+\cdots++x_n+++x_{n+1}+++(n-1)\mathbf{G}_{n+1}+}{n}+\ge+\mathbf{G}_n+++\sqrt[n]{+x_{n+1}+\mathbf{G}^{n-1}_{n+1}}++\ge+2+\sqrt[2n]{\mathbf{G}^{n}_{n}+x_{n+1}+\mathbf{G}^{n-1}_{n+1}}=+2\mathbf{G}_{n+1}+$

所以 $formdata=(n+1)\mathbf{A}_{n+1}+=+x_1+++x_2+\cdots++x_n+++x_{n+1}+\ge+2n+\mathbf{G}_{n+1}+-+(n-1)\mathbf{G}_{n+1}+=+(n+1)\mathbf{G}_{n+1}$ ，从而有 $formdata=\mathbf{A}_{n+1}+\ge+\mathbf{G}_{n+1}$ 。

[编辑] 基于琴生不等式的证明

注意到几何平均数 $formdata=+\mathbf{G}_n$ 实际上等于 $formdata=\exp+\left(+\frac{\ln+{x_1}+++\ln+{x_2}+++\cdots+++\ln+{x_n}}{n}+\right)$ ，因此算术-几何平均不等式等价于：

$formdata=\ln+{+\frac{+x_1+++x_2+++\cdots+++x_n+}{n}+}+\ge+\frac{\ln+{x_1}+++\ln+{x_2}+++\cdots+++\ln+{x_n}}{n}$ 。

由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

[编辑] 基于排序不等式的证明

令 $formdata=b_i++=+\frac{{a_i+}}+{{{\mathbf{G}}_n+}}(i=1,2,3,...,n)$ ，于是有 $formdata=b_1+b_2+\cdots+b_n=1$ ，再作代换 $formdata=b_1++=+\frac{{c_1+}}{{c_2+}},b_2++=+\frac{{c_2+}}{{c_3+}},\cdots,b_n++=+\frac{{c_n+}}{{c_1+}}$ ，运用排序不等式得到：

$formdata=\frac{{c_1+}}{{c_2+}}+++\frac{{c_2+}}{{c_3+}}+++\cdots+++\frac{{c_n+}}{{c_1+}}+\geqslant+\frac{{c_1+}}{{c_1+}}+++\frac{{c_2+}}{{c_2+}}+++...+++\frac{{c_n+}}{{c_n+}}+=+n$ ，

于是得到 $formdata=a_1++++a_2++++\cdots+++a_n++\geqslant+n{\mathbf{G}}_n+$ ，即原不等式成立。

此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

[编辑] 推广

算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

[编辑] 加权算术-几何平均不等式

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设 $formdata=x_1,+\cdots,+x_n+$ 和 $formdata=p_1,+\cdots,+p_n+$ 为正实数，并且 $formdata=p_1+++p_2+\cdots+++p_n+=1+$ ，那么：

$formdata=p_1+x_1++p_2+x_2+\cdots+++p_n+x_n+\ge+x^{p_1}_1+x^{p_2}_2+\cdots+x^{p_n}_n+$ 。

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

[编辑] 矩阵形式

算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：对于系数都是正实数的矩阵

$formdata=\begin{bmatrix} ++a_{11}++++++&+\cdots+&+a_{1k}++++++\\ ++\vdots+&+\ddots+&+\vdots+\\+ ++a_{n1}++++++&+\cdots+&+a_{nk} \end{bmatrix}$

设 $formdata=A_{j}+=+\frac{1}{n}+\sum_{i=1}^n+a_{ij}$ ， $formdata=+G_{i}=\sqrt[k]{\prod_{j=1}^k+a_{ij}+}$ ，那么有：

$formdata=\sqrt[k]{A_1+A_2+\cdots+A_k}+\ge+\frac{G_1+++G_2+++\cdots+++G_n}{n}$

也就是说：对 $formdata=k$ 个纵列取算术平均数，它们的几何平均大于等于对 $formdata=n$ 个横行取的 $formdata=n$ 个几何平均数的算术平均。

[编辑] 极限形式

也称为积分形式：对任意在区间 $formdata=[0,1]$ 上可积的正值函数 $formdata=f$ ，都有

$formdata=\int_{0}^{1}+f(x)+dx+\ge+\exp+(\int_{0}^{1}+\ln+f(x)+dx+)$

这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 $formdata=\frac{+x_1+++x_2+++\cdots+++x_n+}{n}++\ge+\exp+(+\frac{\ln+{x_1}+++\ln+{x_2}+++\cdots+++\ln+{x_n}}{n}+)$ 后，将两边的黎曼和中的 $formdata=n$ 趋于无穷大后得到的形式。

[编辑] 参见

[编辑] 参考来源

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匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京张锦炎江泽涵译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。
李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。

取自"http://wiki.mathfan.com/index.php/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%95%B0%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F"

3个分类: 不等式 | 代数 | 平均数

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