幂函数

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幂函数是形如f(x)=x^a的函数，a可以是自然数、有理数，也可以是任意实数或复数。

[编辑] 自然数幂

自然数幂函数xⁿ的定义为自变量自乘n次，如

$formdata=x^3+\equiv+x+\times+x+\times+x$

[编辑] 有理数幂

形如

$formdata=f(x)+=+x^\frac{1}{n}$

的幂函数定义为

$formdata=f(x)+=+x^n$

的多值反函数

[编辑] 无理数幂

无理数幂可以由有理数列逼近得到

[编辑] 复数幂

扩大的幂函数定义为

$formdata=x^a+\equiv+e^{a+\cdot+\ln+x}$

为一个多值函数

[编辑] 其他

表达式 $formdata=f(x)=x^a$

当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握

指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。

a取不同值时f（x）有不同的性质，不妨令 $formdata=a=\frac{p}{q}$ (p,q均为整数，且互质)

定义域

当a>0,q为奇数时，定义域为R

当a>0,q为偶数时，定义域为 $formdata=[0,\infty)$

当a<0,q为奇数时，定义域为 $formdata=(-\infty,0),(0,+\infty)$

当a<0,q为偶数时，定义域为 $formdata=(0,+\infty)$

值域

当a>0,p为奇数时，定义域为R

当a>0,p为偶数时，定义域为 $formdata=[0,+\infty)$

当a<0,p为奇数时，定义域为 $formdata=(-\infty,0),(0,+\infty)$

当a<0,p为偶数时，定义域为 $formdata=(0,+\infty)$

单调性

当a>0,p,q为奇数时，递增区间为 $formdata=R$

当a>0,p为偶数q为奇数时，递增区间 $formdata=[0,+\infty)$ 递减区间 $formdata=(-\infty,0)$

当a>0,q为偶数时，递增区间 $formdata=[0,+\infty)$

当a<0,p,q为奇数时，递增区间 $formdata=(-\infty,0)$ 递减区间 $formdata=(0,+\infty)$

当a<0,p为偶数q为奇数时，递增区间 $formdata=(-\infty,0)$ 递减区间 $formdata=(0,\infty)$

当a<0,q为偶数时，递减区间 $formdata=(0,+\infty)$

图像

取自"http://wiki.mathfan.com/index.php/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0"

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