复数

取自数学百科

[编辑] 复数的定义1

【实部与虚部·模与辐角·共轭复数】复数z一般表示为z=a+bi，其中称i为虚数单位，a和b均为实数，分别称为z的实部和虚部，记为a=Re(z)，b=Im(z). 两个复数只有当实部和虚部分别相等时才相等

[编辑] 复数的定义2

复数可定义为两实数 $formdata=\left.+a,b\right.$ 的序对，其中此序对满足以下规律：

$formdata=\left.+(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\right.$

$formdata=\left.+(a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad)\right.$

一般复数采用符号i，通常定义 $formdata=i+=+\sqrt{-1}$ ，或 $formdata=\left.+i^2+=+-1\right.$ ，而由此定义出发所构成的数 $formdata=\left.+a+++ib\right.$ 亦满足以上所定义的序对的规律

复数数域采用符号 $formdata=\mathbb{C}$

[编辑] 复数的性质

对于复数 $formdata=\left.+u,v,w,\right.$ 有以下的性质：

加法交换律 $formdata=\left.+u+++v+=+v+++u\right.$

加法结合律 $formdata=\left.(u+++v)++w+=+u+++(v+++w)\right.$

乘法交换律 $formdata=\left.uv+=+vu\right.$

乘法结合律： $formdata=\left.+u(vw)+=+(uv)w\right.$

分配律： $formdata=\left.+(u+++v)w+=+uw+++vw+\right.$ ； $formdata=\left.+u(v+++w)=+uv+++uw\right.$

注意：不能比对两个复数的大小，因为大小关係是定义在实数之上的一种关係，也因此复数没有正负之分。

[编辑] 棣美弗定理

对于任意复数z，可表为 $formdata=z=\left|+z\right|+(\cos+x+++i+\sin+x)$ ，其中 $formdata=\left.+z=a+ib\right.$ ， $formdata=\left.+x+=+{\tan}^{-1}+\frac{b}{a}\right.$

以此表示法表示的复数有性质如下：

当n为实数，z为以上所讲的复数时

$formdata=z^n+=+\left|+z\right|^n(\cos+x+++i+\sin+x)^n+=+\left|+z\right|^n(\cos+nx+++i+\sin+nx)$

这个性质在解任意复数(包括实数在内)z的n次方根时相当地有用

另一方面，复数可表示成以e为底指数函数（欧拉公式）：

$formdata=\left|+z\right|+(\cos+x+++i+\sin+x)+=+e^{ix+++\ln+\left|+z\right|}$

[编辑] 欧拉公式

根据泰勒公式， $formdata=e^{x}=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}$ 和 $formdata=\sin+(x)=\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$ 以及 $formdata=\cos+(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ 有：

$formdata=e^{iz}=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{(iz)^n}{n!} =\sum^{+\infty}_{n=0}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!} +i\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!} =\cos+(z)+++i\sin+(z)$